ALGEBRA LINEAL

 

DEFINICIÓN DEÁLGEBRA LINEAL

Se denomina álgebra a la rama de las matemáticas que se orienta a la generalización de las operaciones aritméticas a través de signos, letras y números. En el álgebra, las letras y los signos representan a otra entidad a través de un simbolismo.

Lineal, por su parte, es un adjetivo que refiere a lo vinculado a una línea (una raya o una sucesión). En el ámbito de la matemática, la idea de lineal alude a aquello que cuenta con consecuencias que son proporcionales a una causa.

Se conoce como álgebra lineal a la especialización del álgebra que trabaja con matrices, vectores, espacios vectoriales y ecuaciones de tipo lineal. Se trata de un área del conocimiento que se desarrolló especialmente en la década de 1840 con los aportes del alemán Hermann Grassmann (1809-1877) y el irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865), entre otros matemáticos.

Los espacios vectoriales son estructuras que surgen cuando se registra un conjunto que no está vacío, una operación externa y una operación interna. Los vectores son los elementos que forman parte del espacio vectorial. En cuanto a las matrices, se trata de un conjunto bidimensional de números que permiten la representación de los coeficientes que tienen los sistemas de ecuaciones lineales.

William Rowan Hamilton es uno de los nombres más destacados del ámbito de las matemáticas, ya que fue quien acuñó el término «vector», además de haber creado los cuaterniones. Este concepto se extiende de los números reales, así como ocurre con los complejos, y se trata de grupos de cuatro números resultan muy útiles al estudiar cantidades en tres dimensiones que esperan contar con una magnitud y una dirección.

Los números que componen el cuaternión deben satisfacer determinadas reglas de adición, multiplicación e igualdad. Este descubrimiento tuvo una importancia considerable para las matemáticas. Con respecto al conjunto de los números reales, se define como aquél en el cual se encuentran los racionales (el cero, los positivos y los negativos) y los irracionales (aquéllos que no pueden ser expresados).

Siguiendo con la definición de los elementos con los que trata el álgebra lineal, es importante saber que un sistema de ecuaciones lineales se compone, como su nombre lo indica, de ecuaciones lineales (un conjunto de ecuaciones que son de primer grado), definidas sobre un anillo conmutativo o un cuerpo.

Los espacios vectoriales, el foco de estudio del álgebra lineal, cuentan con dos conjuntos: uno de vectores y otro de escalares. Los escalares son elementos de los cuerpos matemáticos que se usan para llevar a cabo la descripción de un fenómeno con magnitud, aunque sin dirección; puede ser un número real, complejo o constante.

En las transformaciones lineales, los vectores no siempre son sucesiones de escalares; también es posible que sean elementos de cualquier conjunto. Tanto es así que un espacio vectorial puede surgir partiendo de cualquier conjunto sobre un campo fijo.

Otro de los puntos de interés del álgebra lineal es el grupo de propiedades que aparece cuando encima de los espacios vectoriales se impone estructura adicional; un ejemplo muy frecuente de esto tiene lugar cuando se presenta un producto interno, es decir una suerte de producto entre un par de vectores, el cual da lugar a la introducción de conceptos tales como el ángulo que forman dos vectores o la longitud de los mismos.

Es correcto decir que el álgebra lineal es un área activa que se conecta con otras tantas, algunas de la cuales no pertenecen a las matemáticas, como ser las ecuaciones diferenciales, el análisis funcional, la ingeniería, la investigación de operaciones y las gráficas por ordenador. Asimismo, áreas de las matemáticas como ser la teoría de los módulos o el álgebra multilineal han sido desarrolladas a partir del álgebra lineal.